Geometria: Problemas con Area y Volumen.

1) ¿Qué es el volumen?

El volumen es la cantidad de espacio que ocupa un objeto en tres dimensiones.
Se mide en unidades cúbicas, por ejemplo: cm³, m³, mm³ o dm³ (1 L = 1 dm³).

Piensa en el volumen como cuántos cubitos pequeños (de 1 cm de lado) caben dentro del objeto.

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2) ¿Qué es un cubo?

Un cubo es una figura sólida donde todas sus caras son cuadrados iguales.
Cada arista (lado) del cubo tiene la misma longitud. Si llamamos a al lado del cubo, entonces todas las aristas miden a.

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3) Fórmula para el volumen del cubo

La fórmula es muy sencilla:

$$\boxed{V = a^3}$$

Eso significa: Volumen = lado × lado × lado.

La unidad será la unidad de la medida del lado elevada al cubo (por ejemplo, si a está en cm → V en cm³).

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4) Pasos para resolver (método paso a paso)

1. Lee el problema y subraya la medida del lado (a).

2. Comprueba las unidades (si están en metros, centímetros, etc.). Si es necesario, convierte todo a la misma unidad antes de calcular.

3. Aplica la fórmula $V = a^3$.

4. Calcula multiplicando $a \times a \times a$. Haz la multiplicación paso a paso para evitar errores.

5. Escribe la respuesta con la unidad cúbica correcta (por ejemplo: cm³).

6. Comprueba que el resultado sea positivo y tenga sentido (un cubo con lado 2 cm no puede tener volumen de 0 cm³, por ejemplo).

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5) Ejemplo claro y resuelto (explicado paso a paso — para quinto de primaria)

Problema: Un cubo tiene lado $a = 5\ \text{cm}$. ¿Cuál es su volumen?

Paso 1 — Fórmula:
$V = a^3$

Paso 2 — Sustituir el valor:
$V = 5^3 = 5 \times 5 \times 5$

Paso 3 — Multiplicar paso a paso (cálculo dígito a dígito):

• Primero calculamos $5 \times 5$.
  $5 \times 5 = 25$.

• Ahora multiplicamos ese resultado por 5: $25 \times 5$.

  Hacemos la multiplicación detallada:

  • $25 \times 5 = (20 + 5) \times 5 = 20\times5 + 5\times5$.

  • $20 \times 5 = 100$.

  • $5 \times 5 = 25$.

  • $100 + 25 = 125$.

Paso 4 — Resultado con unidad:
$V = 125\ \text{cm}^3$.

Interpretación fácil: En ese cubo caben 125 cubitos de $1\ \text{cm}^3$.

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6) Ejemplos rápidos más (resueltos)

• Si $a = 3\ \text{cm}$: $V = 3^3 = 3\times3\times3 = 9\times3 = 27\ \text{cm}^3$.

• Si $a = 10\ \text{cm}$: $V = 10^3 = 10\times10\times10 = 100\times10 = 1000\ \text{cm}^3$.

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7) Actividades para realizar en clase

Actividad 1 (individual):
Calcula el volumen de cada cubo y escribe la respuesta con unidad.
a) $a = 2\ \text{cm}$
b) $a = 7\ \text{cm}$
c) $a = 1{,}5\ \text{m}$ (recuerda convertir unidades si es necesario: 1 m = 100 cm — pero puedes dejar la respuesta en m³ si trabajas en metros)

Actividad 2 (práctica con materiales):
Usa cubitos de 1 cm (u objetos pequeños iguales) para construir un cubo de lado 4 cubitos. Cuenta cuántos cubitos usaste y verifica que coincide con $4^3$.

📏 Fórmula del volumen de un prisma rectangular

$$V = Largo \times Ancho \times Alto$$

O también puede escribirse como:

$$V = L \times A \times H$$

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🧮 Ejemplo:

Supongamos que tenemos una caja rectangular con las siguientes medidas:

• Largo = 8 cm

• Ancho = 5 cm

• Alto = 4 cm

Aplicamos la fórmula:

$$V = 8 \times 5 \times 4$$ $$V = 160 \, cm³$$

Entonces, el volumen del prisma rectangular es 160 cm³.

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💡 Recuerda:

• Largo → es la medida más grande.

• Ancho → es la base o profundidad.

• Alto → es la medida vertical.

🔺 1. Si es un prisma triangular

Un prisma triangular es una figura que tiene dos bases con forma de triángulo y caras rectangulares.

📏 Fórmula:

$$V = \text{Área de la base triangular} \times \text{Altura del prisma}$$

Y el área de la base triangular se halla con:

$$A = \frac{\text{base} \times \text{altura del triángulo}}{2}$$

Entonces:

$$V = \frac{\text{base del triángulo} \times \text{altura del triángulo}}{2} \times \text{altura del prisma}$$

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🧮 Ejemplo:

Un prisma tiene una base triangular con:

• base = 6 cm

• altura del triángulo = 4 cm
  y el prisma mide 10 cm de largo.

1️⃣ Calculamos el área de la base:

$$A = \frac{6 \times 4}{2} = 12 \, cm²$$

2️⃣ Calculamos el volumen:

$$V = 12 \times 10 = 120 \, cm³$$

✅ El volumen del prisma triangular es 120 cm³.

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🔺 2. Si es una pirámide triangular

Una pirámide triangular tiene una base con forma de triángulo y las caras son también triángulos.

📏 Fórmula:

$$V = \frac{1}{3} \times \text{Área de la base triangular} \times \text{altura de la pirámide}$$