MATEMATICAS: PERMUTACIONES

Definición de permutaciones

Una permutación es el número de maneras distintas en que se pueden ordenar los elementos de un conjunto. Si el conjunto consta de $\text{[math]}$ elementos y estos se quieren disponer en grupos de tamaño $\text{[math]}$ , entonces se requiere que $\text{[math]}$ .

Hay que tener en cuenta lo siguiente:

1 Sí importa el orden de los grupos, ya que el intercambio entre dos elementos distintos genera una nueva permutación

2 No se repiten los elementos, ya que de repetirse o ser iguales entre si, al intercambiarlos no se genera una nueva permutación

Para obtener el total de maneras en que se pueden colocar $\text{[math]}$ elementos en $\text{[math]}$ posiciones se utiliza la siguiente fórmula:

$\text{[math]}$

Si en dado caso, $\text{[math]}$ para calcular el total de permutaciones se utiliza la siguiente fórmula:

$\text{[math]}$

A continuación, analiza los siguientes ejemplos utilizando lo anteriormente mencionado.

Ejemplos de problemas de permutaciones

1Calcular las permutaciones de $\text{[math]}$ elementos en $\text{[math]}$ posiciones.

Solución:

En este caso $\text{[math]}$ por lo que empleamos

$\text{[math]}$

Así, hay $\text{[math]}$ formas distintas de acomodar $\text{[math]}$ elementos.

2¿Cuántos números de $\text{[math]}$ cifras diferentes se pueden formar con los dígitos: $\text{[math]}$ ?

Solución:

Como se tiene $\text{[math]}$ dígitos diferentes, y se quiere números de cinco cifras, entonces $\text{[math]}$ por lo que empleamos

$\text{[math]}$

Así, hay $\text{[math]}$ números de cinco cifras distintos formados con los dígitos $\text{[math]}$ .

3¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de ocho butacas?

Solución:

Como se tiene $\text{[math]}$ personas y estas son diferentes, ya que no nos indican que hayan dos iguales y se quieren sentar en ocho butacas, entonces $\text{[math]}$ por lo que empleamos

$\text{[math]}$

Así, hay $\text{[math]}$ formas distintas de sentar a ocho personas en ocho butácas.

4¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de siete butacas?

Solución:

Como se tiene $\text{[math]}$ personas y estas son diferentes, ya que no nos indican que hayan dos iguales y se quieren sentar en $\text{[math]}$ butacas, entonces $\text{[math]}$ por lo que empleamos

$\text{[math]}$

Así, hay $\text{[math]}$ formas distintas de sentar a ocho personas en siete butácas. Esto se debe a que siempre queda una persona sin sentar.

5¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de cinco butacas?

Solución:

$\text{[math]}$

Así, hay $\text{[math]}$ formas distintas de sentar a ocho personas en cinco butácas.

6¿Cuántas formas diferentes hay de colocar a las letras $\text{[math]}$ en tres posiciones?

Solución:

En este caso $\text{[math]}$ por lo que empleamos

$\text{[math]}$

Así, hay $\text{[math]}$ formas distintas de acomodar las letras $\text{[math]}$ elementos y estas son:

$\text{[math]}$

7Si tenemos a $\text{[math]}$ elementos y queremos colocarlos en $\text{[math]}$ posiciones, ¿de cuántas maneras se puede realizar?

Solución:

En este caso $\text{[math]}$ por lo que empleamos

$\text{[math]}$

Así, hay $\text{[math]}$ formas distintas de acomodar tres elementos en dos posiciones. Si denotamos a los elementos con las letras $\text{[math]}$ las distintas formas de acomodarlas en dos posiciones son:

$\text{[math]}$

8Si tenemos $\text{[math]}$ alumnos y queremos formar una comisión de $\text{[math]}$ alumnos, ¿cuántas comisiones distintas podemos realizar?

Solución:

En este caso $\text{[math]}$ por lo que empleamos

$\text{[math]}$

Así, hay $\text{[math]}$ formas distintas de acomodar veinte alumnos en comisiones de tamaño tres.

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GRADO CUARTO Y QUINTO SEDE LA JULIA