MATEMATICAS: MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Definición de magnitudes inversamente proporcionales
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción. Esto pasa cuando:
- al multiplicar una de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida por el mismo número. O viceversa
- al dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada por el mismo número.
Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando:
A más corresponde menos.
A menos corresponde más.
Todo esto de manera proporcional. En particular
Al doble corresponde la mitad.
Al triple corresponde un tercio.
Ejemplos de problemas de proporcionalidad inversa
1 Supongamos que 3 pintores tardan 20 días en pintar un mural.
Es claro que si duplicamos el número de pintores, el tiempo que se necesita para pintar la barda se reduce a la mitad, es decir 6 pintores tardarán 10 días.
De igual manera si reducimos el número de pintores a una tercera parte, el tiempo requerido para realizar la misma tarea será el triple. Es decir 1 pintor, tardaría 60 días. Al saber lo que tarda un pintor, ya podemos completar una tabla como la siguiente
Así que el número de personas que realizan una tarea es inversamente proporcional al tiempo que tardan.
A mayor número de personas corresponde menos tiempo.
A menor número de personas corresponde más tiempo.
2 Supongamos que un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h
La velocidad y el tiempo son otro ejemplo de magnitudes inversamente proporcionales:
A más velocidad corresponde menos tiempo.
A menos velocidad corresponde más tiempo.
Por lo que si doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la mitad. Es decir, si la velocidad es de 120 km/h el tiempo del trayecto será de 3 horas.
EJERCICIOS
Ejercicio 1: Tiempo y velocidad
Un automóvil tarda 90 minutos en recorrer una cierta distancia a una velocidad de 2 km/h. Si aumenta su velocidad a 6 km/h, ¿cuánto tiempo tardará en recorrer la misma distancia?
Ejercicio 2: Trabajadores y días para completar una tarea
Una obra necesita ser terminada en 12 días con 6 trabajadores. Si se aumentan los trabajadores a 3 veces más (18 trabajadores), ¿en cuántos días se terminará la obra?
Ejercicio 3: Cantidad de pintura y capas necesarias
Para pintar una pared con 3 capas de pintura, se necesitan 60 litros de pintura. Si se aplica una capa más gruesa que necesita el doble de pintura (6 capas), ¿cuántos litros de pintura serán necesarios?
Ejercicio 4: Velocidad de llenado de un tanque y tiempo
Un tanque de agua tarda 45 minutos en llenarse con una bomba de 3 litros por minuto. Si se usa una bomba de 9 litros por minuto, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse el tanque?
Ejercicio 5: Cantidad de libros y tiempo de lectura
Un grupo de estudiantes puede leer 30 libros en 6 días si leen 5 libros al día. Si deciden aumentar su ritmo de lectura a 10 libros por día, ¿cuántos días les llevará leer los 30 libros?
Aquí tienes cinco nuevos ejercicios de magnitudes inversamente proporcionales, con dos preguntas por ejercicio y cifras numéricas en cada uno:
Ejercicio 1: Pintura y capas de pintura
Para 4 capas de pintura se necesitan 80 litros. Si se aplican 8 capas más gruesas:
- ¿Cuántos litros serán necesarios para las 8 capas?
- ¿Cuántos litros serían necesarios si se aplican solo 2 capas?
Ejercicio 2: Tiempo de llenado de un tanque
Un tanque se llena en 60 minutos con una bomba de 5 litros/minuto. Si se usa una bomba de 10 litros/minuto:
- ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el tanque con la bomba de 10 litros/minuto?
- ¿Cuánto tiempo tardará si la bomba bombea solo 2 litros/minuto?
Ejercicio 3: Trabajadores y días para completar una tarea
Una obra necesita 20 días con 15 trabajadores. Si se aumenta el número de trabajadores a 30:
- ¿En cuántos días se terminará la obra con 30 trabajadores?
- ¿Cuántos días tardarían si solo hubiera 10 trabajadores?
Ejercicio 4: Velocidad y tiempo de viaje
Un tren tarda 90 minutos en recorrer una distancia viajando a 40 km/h. Si aumenta su velocidad a 60 km/h:
- ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer la misma distancia a 60 km/h?
- ¿Cuánto tardaría si viaja a 20 km/h?
Ejercicio 5: Cantidad de libros y tiempo de lectura
Un grupo de estudiantes puede leer 50 libros en 10 días leyendo 5 libros al día. Si deciden aumentar su ritmo a 10 libros por día:
- ¿En cuántos días terminarán de leer los 50 libros?
- ¿Cuántos días tardarían si leen solo 2 libros al día?
Ejercicio 1: Pintura y Capas de Pintura
Un artista está preparando una pared para ser pintada y necesita aplicar varias capas para que el color sea intenso. Para una capa de pintura, el artista utiliza 30 litros de pintura. Sin embargo, se da cuenta de que si desea aplicar 6 capas en lugar de una, necesitará más litros. Si el artista decide aplicar 12 capas en total, ¿cuántos litros de pintura necesitará? Además, si decide que solo quiere aplicar 3 capas, ¿cuántos litros usaría?
Ejercicio 2: Tiempo de llenado de un tanque
Un tanque de agua puede llenarse en 120 minutos si se utiliza una bomba que bombea 4 litros de agua por minuto. El propietario del tanque se da cuenta de que necesita llenarlo más rápido para una fiesta. Decide usar una bomba que bombea 8 litros por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el tanque con esta nueva bomba? Ahora, si el propietario decide usar una bomba que solo bombea 2 litros por minuto, ¿cuánto tiempo tardará en llenarlo?
Ejercicio 3: Estudiantes y tiempo de estudio
Un grupo de 12 estudiantes está trabajando en un proyecto escolar que requiere 30 horas de trabajo en total. Si el grupo decide aumentar el número de miembros a 24 estudiantes, se preguntan cuánto tiempo tardarán en completar el proyecto. Sin embargo, si deciden reducir el número de estudiantes a solo 6, ¿cuánto tiempo adicional necesitarán para terminar el proyecto?
Ejercicio 4: Velocidad y distancia recorrida
Un ciclista puede recorrer una cierta distancia en 180 minutos si viaja a una velocidad de 15 km/h. Sin embargo, decide aumentar su velocidad a 30 km/h para llegar a su destino más rápidamente. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer la misma distancia a esta nueva velocidad? Por otro lado, si decide que solo puede pedalear a 10 km/h, ¿cuánto tiempo le llevará completar el mismo recorrido?
Ejercicio 5: Cantidad de libros y tiempo de lectura
Un club de lectura tiene como meta leer 40 libros en 8 semanas, y cada miembro del club se compromete a leer 5 libros por semana. Sin embargo, el club quiere aumentar su ritmo a 10 libros por semana. ¿Cuánto tiempo tardarán en completar la lectura de los 40 libros? En contraste, si deciden leer solo 2 libros por semana, ¿cuántas semanas necesitarán para terminar la misma cantidad de libros?
TAREA
Ejercicio 2: Velocidad y tiempo de viaje
Una familia planea hacer un viaje por carretera de 480 kilómetros. Si mantienen una velocidad constante de 80 km/h, estiman que llegarán a su destino en 6 horas. Sin embargo, por condiciones climáticas deciden reducir su velocidad.
Pregunta 1: Si reducen su velocidad a 60 km/h, ¿cuánto tiempo les tomará llegar a su destino?
Pregunta 2: Si más tarde deciden aumentar su velocidad a 120 km/h, ¿cuánto tiempo les tomará completar el viaje?
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